▌简介
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，通常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
例如：1,3,5,7,9……2n-1。通项公式为：an=a₁+(n-1)d。首项a₁=1，公差d=2。前n项和公式为：Sₙ=a₁n+[n(n-1)d]/2或Sn=[n*(a₁+aₙ)]/2。注意：以上n均属于正整数。
| 中文名 | 等差数列 | 关键要点 | 公差、等差中项 |
| 外文名 | Arithmetic progression | 通项公式 | aₙ=a₁+(n-1)d |
| 学科 | 数学 | 数列和公式 | Sₙ=(a₁+aₙ)n÷2 |
| 项数公式 | n=(aₙ-a₁)÷d+1 | 公差公式 | d=(aₙ-a₁)÷(n-1) |
▌性质
如果一个等差数列的首项记作a，公差记作d，那么该等差数列第 n 项 aₙ的一般项为：
an=a+(n-1)d
换句话说，任意一个等差数列 {aₙ} 都可以写成：
{a，a+d，a+2d，···，a+(n-1)d}
在一个等差数列中，给定任意两相连项aₙ₊₁ 和 aₙ ，可知公差
d=aₙ₊₁-aₙ
给定任意两项am和an，则公差是：
d=(aₘ-aₙ)÷(m-n)
此外，在一个等差数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之和，为原来该项的两倍。举例来说，a₁ + a₃ = 2a₂ 更一般地说，有：
aₙ₋₁+aₙ₊₁=2aₙ
证明如下：
aₙ₋₁+aₙ₊₁=[a+(n-2)d]+(a+nd)
=2a+(2n-2)d
=2[a+(n-1)d]
=2aₙ
从另一个角度看，等差数列中的任意一项，是其前一项和后一项的算术平均：
aₙ=(aₙ₋₁+aₙ₊₁)÷2
▌等差级数和
一个等差数列的首 n 项之和，称为等差数列和（sum of arithmetic sequence）或算术级数（arithmetic series），记作 Sₙ。
举例来说，等差数列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。
等差数列求和的公式如下：
Sₙ=n÷2(a+aₙ)
=n/2[2a+(n-1)d]
=an+d·n(n-1)/2
等差数列和在中文教科书中常表达为：一个等差数列的和，等于其首项与末项的和，乘以项数除以2。
公式证明如下：
将等差数列和写作以下两种形式：
Sₙ=a+(a+d)+(a+2d)+···+[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]
Sₙ=[aₙ-(n-1)d]+[aₙ-(n-2)d]+···+（aₙ-2d)+(aₙ-d)+aₙ
将两公式相加来消掉公差 d，可得：
2Sₙ=n(a+aₙ)
整理可得第一种形式。
带入aₙ=a+(n-1)d，可得第二种及第三种形式。
▌相关故事
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。
高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习,1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。
高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以比较的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去。彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊。而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，……共有50对这样的数，用101乘以50得到5050。这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了。
