奇数

▌简介

奇数指不能被2整除的整数 ，数学表达形式为：2k+1， 奇数可以分为正奇数和负奇数。

▌定义

在整数中，不能被2整除的数叫做奇数 。日常生活中，人们通常把正奇数叫做单数，它跟偶数是相对的  。奇数可以分为正奇数和负奇数。奇数的数学表达形式为：2k+1(k∈Z)。

正奇数：1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27、29、31、33………

负奇数：-1、-3、-5、-7、-9、-11、-13、-15、-17、-19、-21、-23.-25、-27、-29、-31、-33………

▌性质

1.两个连续整数中必有一个奇数和一个偶数；

2.奇数+奇数=偶数；偶数+奇数=奇数；偶数+偶数+…+偶数=偶数；

3.奇数-奇数=偶数；偶数-奇数=奇数；奇数-偶数=奇数；

4.若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性，即a+b与a-b同为奇数或同为偶数；

5.n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是偶数；算式中有一个是偶数，则乘积是偶数；

6.奇数的个位是1、3、5、7、9；偶数的个位是0、2、4、6、8；

7.奇数的平方除以2、4、8余1；

8.任意两个奇数的平方差是2、4、8的倍数；

9.奇数除以2余数为1。

▌与平方数

著名数学家毕达哥拉斯发现有趣奇数现象：将奇数连续相加，每次的得数正好是平方数。这体现在奇数和平方数之间有着密切的重要联系。如：

1.性质：任意一个奇数都可以写成两个整数平方差的形式。

2.令正奇数a为第n个正奇数(即n≥1)，则有a=n²-(n-1)²=2n-1;a=(a+1-n)²-(a-n)²=2a-2n+1。

3.令负奇数b为第n个负奇数(n≥1)，易得b=-a=(n-1)²-n²=1-2n；但第二个规律与正奇数的不同。

▌与素数的区别

奇数与素数是两个不同的概念，奇数可能是素数，也可能不是素数。例如3是奇数，是素数；9是奇数，但不是素数。

▌奇数列

数列：1，3，5，7，9，…… ，2n-1，… 称为奇数列，通项公式为aₙ=2n-1。它有一个优美的性质：n取任何正整数时，它的前n项和均是一个完全平方数。

奇数列也可从另一角度进行表述：若m₁=1，m₂=3，当n≥3时，都有mₙ=2mₙ₋₁-mₙ₋₂，则数列{mₙ}为奇数列。